מומנט פלסטי: Mp ומקדם צורה לפי EN 1993-1-1

תכנון פלסטי של חתך פלדה הוא אחד המושגים היסודיים בהנדסת פלדה, והוא מבוסס על היכולת של פלדה מבנית (S235, S275, S355, S460) להיכנע בצורה מבוקרת מבלי להתנתק. כאשר חתך פלדה נמצא תחת מומנט כיפוף, הסיב החיצוני ביותר מגיע ראשון לגבול הכניעה f_y. בחישוב אלסטי קלאסי זהו מצב הקצה, ומעבר לו התכנון נחשב "לא תקין" והמומנט המירבי הוא M_el = W_el · f_y. אך בפועל, הפלדה ממשיכה לשאת עומס גם אחרי שהסיב החיצוני הגיע ל f_y, כי החומר יוצא ל"מישור הפלסטי" בו הוא מתעוות ללא תוספת מאמץ. המאמץ מתקדם מהקצוות פנימה עד שכל החתך נמצא במאמץ ±f_y. המצב הזה נקרא "פלסטיפיקציה מלאה" ומוגדר על ידי מומנט פלסטי M_p = Z_p · f_y, כאשר Z_p הוא מודול החתך הפלסטי. ההבדל בין W_el ל Z_p הוא דרמטי ותלוי בצורת החתך. מודול אלסטי W_el = I / y_max מבוסס על משוואת האלסטיות הליניארית σ = M · y / I, ומודול פלסטי Z_p = ∫|y|dA (המשקלל של המרחקים מציר הניטרול הפלסטי) מבוסס על איזון הכוחות בין אזור הלחיצה לאזור המתיחה. היחס ביניהם נקרא מקדם צורה (shape factor) α = Z_p / W_el. עבור פרופיל I (IPE, HE) היחס הוא בין 1.10 ל 1.18, עבור מלבן מלא הוא בדיוק 1.5, ועבור חתך עגול הוא 1.70. המקדם הזה משקף "עד כמה החתך נוצל" בתכנון אלסטי — במלבן, התכנון האלסטי "מבזבז" 50 אחוז מיכולת החתך, ובפרופיל I הבזבוז הוא רק 12 עד 18 אחוז. לכן פרופיל I הוא הכי יעיל אלסטית אבל מצטיין פחות פלסטית. תכנון פלסטי מותנה בכמה תנאים לפי EN 1993-1-1 §5.4 ו §5.6. ראשית, החתך חייב להיות Class 1 (חתך דחוס קומפקטי, plastic section) — דהיינו יחס b_flange / t_f ויחס h_web / t_w חייבים להיות נמוכים מספיק כדי למנוע בריחה מקומית (local buckling) לפני פלסטיפיקציה מלאה. שנית, הפלדה חייבת להיות בעלת יחס מינימום של f_u/f_y > 1.10, הארכה ל 15 אחוזים בשבר, ועמידות בהשפעות חוזרות. שלישית, אין סיבולת לכשל שביר (brittle failure) בטמפרטורות נמוכות או במצבי מאמץ רב-צירי. כל הדרגות הסטנדרטיות (S235-S460) עומדות בתנאי החומר, אך בדיקת Class 1 תלויה בגיאומטריה ספציפית. בישראל תכנון פלסטי נפוץ בקורות משרדיות ארוכות (IPE400-IPE600) שבהן ניצול מלא של קיבולת החתך חוסך עלויות משמעותיות. בעמודי פלדה לרוב לא משתמשים בחישוב פלסטי כי ההתכווצות המקסימלית מוגבלת על ידי בריחה כוללת (flexural buckling) לפי EN 1993-1-1 §6.3.1. למומנט פלסטי בעמודים יש גם משמעות בעמידות לרעידות אדמה — פרקי פלסטיפיקציה (plastic hinges) בבסיס עמודים של מסגרות מומנט מספקות פיזור אנרגיה מבוקר, וזהו המנגנון המרכזי של תקן ת"י 413 לתכנון רעידות.

מודול החתך הפלסטי Z_p מחושב מאיזון בין שטח הלחיצה לשטח המתיחה. ציר הניטרול הפלסטי (plastic neutral axis, PNA) הוא הציר האופקי שמחלק את חתך הפלדה לשני חלקים בעלי שטח שווה. במצב פלסטיפיקציה מלאה, חצי אחד של החתך נמצא במאמץ לחיצה -f_y והחצי השני במאמץ מתיחה +f_y. המומנט המירבי נוצר על ידי הזוג של שני הכוחות, כל אחד בגודל A/2 · f_y, הפועלים במרחק שווה לסך מרחקי המרכזי של שני החצאים מציר הניטרול. מתמטית, Z_p = ∫_A |y|dA, כאשר y נמדד מ PNA. לחתך סימטרי (I, מלבן, עיגול) PNA מתלכד עם מרכז המסה, לחתך אסימטרי (T-section, חצי-I) PNA נמצא במיקום שונה. עבור פרופיל I סימטרי עם אגף b × t_f (עליון ותחתון) ודופן t_w × (h - 2t_f): Z_p = t_w · (h - 2t_f)² / 4 + b · t_f · (h - t_f). האיבר הראשון הוא תרומת הדופן (web) במצב פלסטי — מלבן t_w × (h - 2t_f) שמודולו הפלסטי הוא t_w · (h - 2t_f)² / 4. האיבר השני הוא תרומת שני האגפים, כל אגף הוא מלבן b × t_f במרחק (h - t_f)/2 מ PNA, ולכן תרומתו לז Z_p היא b · t_f · (h - t_f)/2 לכל אגף, וסך הכל b · t_f · (h - t_f) עבור שני האגפים. עבור מלבן מלא b × h: Z_p = b · h² / 4. זו נוסחה פשוטה ומפורסמת. ההשוואה ל W_el = b · h² / 6 נותנת מקדם צורה של 6/4 = 1.5 בדיוק — המלבן "מבזבז" 50 אחוז בתכנון אלסטי כי רוב השטח קרוב לציר הניטרול ולא תורם מספיק. עבור קופסה חלולה (RHS, rectangular hollow section) b × h עם עובי דופן t_w (אנכי) ו t_f (אופקי): Z_p = b · h² / 4 − (b - 2t_w) · (h - 2t_f)² / 4. הנוסחה היא הפרש בין המלבן החיצוני לבין החלל הפנימי. קופסה חלולה יעילה במיוחד לכיפוף דו-צירי (biaxial bending) ולעומסי משאבה, ולכן היא נפוצה בעמודים מנופים ובגשרים. מומנט פלסטי M_p = Z_p · f_y. שים לב ליחידות: אם Z_p מחושב ב mm³ ו f_y ב MPa (N/mm²), אז M_p ב N·mm. כדי לעבור ל kNm יש לחלק ב 10⁶. המחשבון מדווח Z_p ב cm³ (mm³ חלקי 1000) כי זו יחידה נוחה יותר בטבלאות ישראליות, וM_p ב kNm — היחידה הסטנדרטית בתכנון אירופי. מקדם צורה α = Z_p / W_el מדווח בנפרד. הוא אינו פשוט יחס של שני מספרים; הוא משקף כמה "רכיב פלסטי" יש בחתך. חתכים דקים וקומפקטיים (I) זוכים ל α נמוך ~1.12, חתכים עבים (מלבן מלא) זוכים ל α גבוה ~1.5, וחתכים בצורת עיגול מגיעים ל α ~1.7. עבור תכנון פלסטי המותר לפי §5.4 — המהנדס חייב להוכיח Class 1, ורק אז יכול להשתמש ב M_p כקיבולת התכנון.

דוגמה 1: פרופיל I קרוב ל IPE300, b = 150, h = 300, t_w = 10, t_f = 15, S355 (f_y = 355 MPa). תרומת הדופן: t_w · (h - 2t_f)² / 4 = 10 · 270² / 4 = 182,250 mm³. תרומת האגפים: b · t_f · (h - t_f) = 150 · 15 · 285 = 641,250 mm³. סך Z_p = 823,500 mm³ = 823.5 cm³. M_p = 823,500 · 355 / 10⁶ = 292.4 kNm. מודול אלסטי W_el לפרופיל זה: I = (150 · 300³ - 140 · 270³) / 12 = (4.05·10⁸ − 2.755·10⁸) / 12 ≈ 1.079·10⁸ mm⁴ = 10,790 cm⁴. W_el = I / 150 = 720,000 mm³ = 720 cm³. מקדם צורה = 823.5 / 720 = 1.144 — קרוב מאוד ל 1.14 המצוטט בספרות ל IPE300. דוגמה 2: מלבן מלא 150 × 300 (b = 150, h = 300, t_w/t_f בלתי רלוונטיים), S355. Z_p = b · h² / 4 = 150 · 90,000 / 4 = 3,375,000 mm³ = 3,375 cm³. M_p = 3,375,000 · 355 / 10⁶ = 1,198.1 kNm — מומנט עצום, הרבה יותר מה IPE של אותם ממדים חיצוניים! זה הגיוני כי המלבן המלא מכיל הרבה יותר חומר. W_el = b · h² / 6 = 2,250,000 mm³. מקדם צורה = 3,375 / 2,250 = 1.500 בדיוק. המלבן המלא הוא "הבזבזן" הגדול ביותר בתכנון אלסטי, אך במצב פלסטי הוא מנצח את ה IPE (292 kNm מול 1,198 kNm) — הבדל של פי 4 במומנט. ברור למה המלבן המלא לא משמש לקורות: המשקל שלו פי 5-6 מה IPE באותם ממדים, וההתייעלות של "יותר חומר" מוגזמת לגבי עלות. דוגמה 3: קופסה חלולה 150 × 300 עם עובי דופן 10 mm ועובי אגף 15 mm, S355. Z_p = b · h² / 4 − (b - 2t_w) · (h - 2t_f)² / 4 = 3,375,000 − 130 · 270² / 4 = 3,375,000 − 2,369,250 = 1,005,750 mm³ ≈ 1,006 cm³. M_p = 1,005,750 · 355 / 10⁶ = 357.0 kNm. W_el לקופסה: I = (150 · 300³ − 130 · 270³) / 12 = (4.05·10⁸ − 2.559·10⁸) / 12 ≈ 1.243·10⁸ mm⁴ = 12,430 cm⁴. W_el = 828,500 mm³. מקדם צורה = 1,006 / 828.5 = 1.214 — קצת גבוה מפרופיל I כי החומר מתפזר לכל הגובה (שני "אגפים" + שני "דופנות") במקום להתרכז באגפים. השוואה: שלושת החתכים בממדים חיצוניים זהים (150 × 300 mm), אך משקל וקיבולת שונים מאוד: • IPE (I-section): משקל ~42 kg/m, M_p = 292 kNm • RHS (קופסה): משקל ~56 kg/m, M_p = 357 kNm • מלבן מלא: משקל ~350 kg/m, M_p = 1,198 kNm כלומר המלבן המלא יעיל פי 4 מ IPE ב M_p אבל שוקל פי 8 — יחס M_p / weight ב IPE הוא פי 2 מהמלבן. לכן פרופיל I שולט בתכנון קורות. טעות נפוצה: שימוש ב W_el · f_y במקום Z_p · f_y כשחושבים על מומנט תכנון של חתך Class 1. זו טעות שמפחיתה את הקיבולת ב 12 עד 50 אחוז ומובילה לחיזוק מיותר. אם החתך הוא Class 1 (רוב פרופילי IPE ו HE עם S235-S355), המומנט התכנוני לפי EN 1993-1-1 §6.2.5 הוא M_c,Rd = M_pl,Rd = Z_p · f_y / γ_M0 (עם γ_M0 = 1.0). רק לחתכים Class 3-4 (שנחשבים לא קומפקטיים) נעשה שימוש ב W_el. המחשבון מחשב Z_p ללא בדיקת Class — המהנדס חייב לוודא באופן עצמאי ששם החתך תואם לממדים ולדרגת הפלדה.

המחשבון הזה מספק את המודול הפלסטי Z_p ואת מומנט הפלסטיפיקציה M_p לחתך שלם, אך לא בודק אם תכנון פלסטי בכלל אפשרי לחתך הנתון. לפי EN 1993-1-1 §5.4 יש שלושה תנאים הכרחיים לשימוש ב M_p כמומנט התכנון. ראשית, המחשבון לא בודק את סיווג החתך (Class 1/2/3/4). סיווג Class 1 (plastic) הוא תנאי הכרחי לתכנון פלסטי — הוא דורש שיחס b / t_f של האגף (בלחיצה) לא יעלה על 9ε, שיחס h / t_w של הדופן לא יעלה על 72ε, ושאין חוזק לבריחה מקומית (local buckling) לפני פלסטיפיקציה מלאה. כאן ε = √(235 / f_y). עבור S355, ε ≈ 0.81 ואז b/t_f מקסימלי הוא 7.32. דוגמה 1 שחושבה לעיל (b=150, t_f=15) נותנת b/t_f = 10 — גבוה מ 7.32, מה שאומר שזה לא Class 1 עבור S355! החתך יהיה Class 2 (compact) או גרוע יותר. רק S235 (ε = 1.0, b/t_f מקסימלי = 9) היה עשוי לעבור. זו דוגמה ישירה לכמה קריטי לבדוק סיווג חתך באופן עצמאי — המחשבון מחשב Z_p מבלי להזהיר שהתוצאה אולי לא ישימה לתכנון פלסטי. שנית, המחשבון לא בודק את פיתול-ליתיטרלי (LTB, lateral-torsional buckling). קורה פלדה ארוכה שלא מחוזקת רוחבית עלולה לסבול מבריחה לטרלית-פיתולית לפני פלסטיפיקציה מלאה, ואז הקיבולת האפקטיבית M_b,Rd קטנה מ M_pl,Rd. פקטור הקטנה χ_LT תלוי באורך הקורה, ב I_T (אינרציית פיתול סנט-וונאנט), ב I_w (אינרציית קמרה warping), ובתנאי התמיכה. עבור קורות קצרות (L/h < 20) או מחוזקות ב LTG (Lateral Torsional Guidelines) כל 2 מטרים, M_b,Rd = M_pl,Rd. עבור קורות ארוכות (L/h > 50) בלי חיזוק, M_b,Rd יכול להיות 30-60% בלבד של M_pl,Rd. המחשבון EC3 (eng/ltb-kora) מטפל בחישוב הזה. שלישית, המחשבון לא בודק אינטראקציה עם כוחות אחרים — כוח אנכי N_Ed, כוח גזירה V_Ed, או מומנטים דו-ציריים M_y + M_z. לפי EN 1993-1-1 §6.2.9 החתך עם כוח אנכי משמעותי (N_Ed / N_pl,Rd > 0.25 עבור I-סימטרי) מקטין את קיבולת המומנט לפי M_N,Rd = M_pl,Rd · (1 − (N_Ed/N_pl,Rd)) / (1 − 0.5·a_w). גזירה גבוהה (V_Ed / V_pl,Rd > 0.5) מקטינה גם היא. עמודים בעיקר — שבהם יחס N/N_pl הוא 0.3-0.7 — צריכים בדיקת אינטראקציה מלאה. הכלי EC2 (eng/kimut-amud) מטפל בחלק מזה. רביעית, המחשבון מניח חתך סימטרי עם איזון מלא בין אגפים עליונים ותחתונים. עבור חתכי T, חתכי L, או אסימטריים (חצי-I, חתך מרותך עם אגפים שונים), ציר הניטרול הפלסטי לא מתלכד עם מרכז המסה, והנוסחאות שכאן אינן תקפות. חתכים אסימטריים דורשים חישוב PNA ראשון על ידי פתרון משוואת A_upper = A_lower ואז חישוב Z_p מהשני חלקים. מגבלות החומר: המחשבון מניח פלדה רגילה S235-S460 ב γ_M0 = 1.0. לפלדה בטמפרטורות גבוהות (מצב אש > 400°C), f_y יורד משמעותית ו M_p מחושב עם f_y,θ (ראה EC11 eng/amida-esh). לפלדת סגסוגת גבוהה (S690, S960) יש תנאי סיווג Class 1 מחמירים יותר. לפלדה מחוזקת קרה (cold-formed) או לפלדת נירוסטה, תקנים נפרדים חלים. תחום תקף של המחשבון: ממדי חתך 50-500 mm רוחב, 100-1000 mm גובה, עוביים 3-40 mm, גבול כניעה 235-460 MPa, חתכי I/מלבן/קופסה סימטריים בלבד. לחתכים חורגים, חישוב אינטראקציה, LTB, או בדיקת סיווג Class — חובה מהנדס קונסטרוקציה רשוי. המסקנה: התוצאה היא אומדן תיאורטי של קיבולת פלסטית בלבד, לא תחליף לתכנון מהנדס רשוי.